secx 的不定积分结果是 ln|secx+tanx|+C，也可以等价写成 - ln|secx-tanx|+C，这个积分是高等数学三角函数积分的经典题型，核心思路是凑微分，通过分子分母同乘 secx+tanx，把被积函数转化成可以直接凑成 d (secx+tanx) 的形式，很多同学卡在这一步，想不到这个乘式技巧，这个方法是考试最常用标准推导，另外还有分部积分法的推导思路，两种方法得到的最终原函数形式不一样，但是可以通过三角恒等式互相等价，做题优先掌握分子分母同乘的凑微分方法，考研和高数期末考这个推导属于高频考点，要求独立完整写出推导过程。
为什么要使用分子分母同乘的技巧
secx 本身等于 1 除以 cosx，直接对 secx 积分没有现成积分公式，也不能直接换元，所以需要构造特殊因式，利用求导公式，(secx+tanx) 的导数刚好等于 secx (secx+tanx)，这个导数特性就是推导的核心突破口，只要把被积表达式改造成分母是 secx+tanx，分子刚好是它的微分，就可以套用∫(1/u) du=ln|u|+C 这个基本积分公式。
标准凑微分推导步骤
第一步 写出原式
∫secx dx
第二步 利用恒等变形，分子分母同时乘以 secx+tanx
∫ secx (secx+tanx)/(secx+tanx) dx
第三步 展开分子
∫ (sec²x + secx tanx)/(secx+tanx) dx
第四步 观察分子，d (secx+tanx) = (secx tanx + sec²x) dx，所以分子部分就是 d (secx+tanx)
原式改写为 ∫ d (secx+tanx)/(secx+tanx)
第五步 套用对数积分公式 ∫ du/u = ln|u|+C
得到 ln|secx+tanx|+C
等价形式说明
利用三角恒等式可以证明
ln|secx+tanx| = -ln|secx-tanx|
所以∫secx dx = -ln|secx-tanx|+C，两个答案都是正确，阅卷都认可。
补充分部积分推导思路
∫secx dx = ∫secx・1 dx
分部积分，令 u=secx dv=dx
du=secx tanx dx v=x
得到 x secx - ∫x secx tanx dx，这个方法后续计算会比较繁琐，一般不作为首选，考试优先写凑微分版本。
结果验证方法
对 ln|secx+tanx | 求导
导数 = (secx tanx + sec²x)/(secx+tanx)
化简之后等于 secx，说明推导结果正确。
secx 的不定积分推导核心就是利用 (secx+tanx) 的导数特征，分子分母同乘因式之后凑微分，套用对数积分公式，最终结果带上绝对值和常数 C，做题的时候注意绝对值不能漏掉，这是非常容易丢分的细节。
【常见问题】
问题 1：secx 的不定积分推导过程里面为什么要加绝对值
回答 1：secx 的不定积分推导过程得到 ln|secx+tanx|，加绝对值是因为对数函数真数必须大于零，secx+tanx 有可能是负数，secx 的不定积分推导过程不能漏掉绝对值。
问题 2：secx 的不定积分推导过程两种答案为什么都正确
回答 2：secx 的不定积分推导过程得到 ln|secx+tanx|+C 和 - ln|secx-tanx|+C，依靠三角恒等式可以互相转化，secx 的不定积分推导过程两种写法等价。
问题 3：secx 的不定积分推导过程可以直接背公式不用理解吗
回答 3：secx 的不定积分推导过程属于考点，考试经常要求写出推导，只背 secx 的不定积分结果，遇到要求写推导题会丢分，需要掌握凑微分思路。
【免责申明】
本文内容仅针对 secx 的不定积分推导过程相关高等数学知识讲解参考，不同教材书写格式可能存在细微差别，最终请以对应考试官方教材和授课老师讲解为准，本文不构成应试唯一标准答案。
