复变函数 \( w(\sqrt{3}i, 5) \) 的值计算详解
在复变函数的学习中，我们常常会遇到一些需要结合具体条件来求解的问题。本篇文章将详细探讨复变函数 \( w(z, n) \) 在特定条件下（即 \( z = \sqrt{3}i \) 和 \( n = 5 \)）的值，并逐步推导出结果。
一、问题背景与定义
复变函数 \( w(z, n) \) 是一个涉及复数 \( z \) 和整数 \( n \) 的函数形式。通常情况下，这类函数可能表示为某种幂运算或指数运算的形式。为了便于分析，我们假设 \( w(z, n) \) 的定义如下：
\[
w(z, n) = z^n
\]
其中 \( z \) 是复数，\( n \) 是正整数。根据这一定义，我们需要计算 \( w(\sqrt{3}i, 5) \)。
二、复数的基本性质
在进行复数运算之前，我们先回顾一些基本概念：
1. 复数的标准形式：复数 \( z \) 可以表示为 \( z = x + yi \)，其中 \( x \) 是实部，\( y \) 是虚部。
2. 复数的模：复数 \( z \) 的模定义为 \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)。
3. 复数的极坐标形式：复数 \( z \) 还可以表示为 \( z = r e^{i\theta} \)，其中 \( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是辐角。
对于 \( z = \sqrt{3}i \)，其实部 \( x = 0 \)，虚部 \( y = \sqrt{3} \)，因此其模为：
\[
|z| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}
\]
同时，由于 \( z \) 位于虚轴上且为正方向，其辐角 \( \theta \) 满足 \( \tan\theta = \frac{\text{虚部}}{\text{实部}} = \infty \)，因此 \( \theta = \frac{\pi}{2} \) 弧度。
因此，复数 \( z = \sqrt{3}i \) 的极坐标形式为：
\[
z = \sqrt{3} e^{i\frac{\pi}{2}}
\]
三、计算 \( w(\sqrt{3}i, 5) \)
根据定义，\( w(z, n) = z^n \)。将 \( z = \sqrt{3} e^{i\frac{\pi}{2}} \) 和 \( n = 5 \) 代入，得到：
\[
w(\sqrt{3}i, 5) = \left( \sqrt{3} e^{i\frac{\pi}{2}} \right)^5
\]
利用指数法则 \( (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} \)，我们可以进一步展开：
\[
w(\sqrt{3}i, 5) = (\sqrt{3})^5 e^{i\cdot 5\cdot\frac{\pi}{2}}
\]
接下来分别计算模和辐角的部分：
1. 模部分：\( (\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot \sqrt{3} \)。
2. 辐角部分：\( 5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \)。由于角度可以周期性地加上 \( 2\pi \)，我们将 \( \frac{5\pi}{2} \) 化简为 \( \frac{\pi}{2} \)（因为 \( \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} \)）。
因此，结果为：
\[
w(\sqrt{3}i, 5) = 9\sqrt{3} e^{i\frac{\pi}{2}}
\]
将其转换回标准形式：
\[
w(\sqrt{3}i, 5) = 9\sqrt{3} i
\]
四、总结
通过上述步骤，我们得到了复变函数 \( w(\sqrt{3}i, 5) \) 的值为：
\[
\boxed{9\sqrt{3}i}
\]
希望本文的详细推导能够帮助您更好地理解复变函数的相关计算方法！如果您有其他类似问题，欢迎继续提问。
---
希望这段内容能满足您的需求！
