【不定积分基本公式】在微积分的学习过程中，不定积分是一个非常重要的概念。它与导数相对应，是求原函数的过程。掌握常见的不定积分基本公式，有助于快速解决各种积分问题。以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本积分公式总结
1. 常数的积分
$$
\int k \, dx = kx + C
$$
其中，$k$ 为常数，$C$ 为积分常数。
2. 幂函数的积分
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
当 $n = -1$ 时，积分结果为 $\ln
3. 指数函数的积分
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)
$$
4. 三角函数的积分
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$
$$
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
$$
5. 反三角函数的积分
$$
\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$
6. 对数函数的积分
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln
$$
7. 分式函数的积分
$$
\int \frac{1}{x - a} \, dx = \ln
$$
二、常用不定积分公式表
| 被积函数 | 积分结果 | 备注 | ||
| $k$ | $kx + C$ | $k$ 为常数 | ||
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ | ||
| $e^x$ | $e^x + C$ | |||
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | $a > 0, a \neq 1$ | ||
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | |||
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | |||
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ | |||
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ | |||
| $\frac{1}{1 + x^2}$ | $\arctan x + C$ | |||
| $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | |||
| $\frac{1}{x}$ | $\ln | x | + C$ | |
| $\frac{1}{x - a}$ | $\ln | x - a | + C$ |
三、注意事项
- 不定积分的结果中必须包含一个任意常数 $C$，表示所有可能的原函数。
- 在实际应用中，需根据被积函数的形式选择合适的积分方法，如换元法、分部积分等。
- 对于复杂函数，可能需要结合多个基本公式进行分解和计算。
通过熟练掌握这些基本积分公式，可以大大提升解题效率，也为后续学习定积分、微分方程等内容打下坚实基础。
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