【欧拉常数公式】欧拉常数，也称为欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant），通常用符号 γ 表示。它在数学中具有重要的地位，尤其在分析学、数论和积分计算中经常出现。虽然 γ 的定义与欧拉常数公式密切相关，但严格来说，“欧拉常数公式”并不是一个标准的术语，而是对与 γ 相关的一些经典公式的统称。
以下是对与欧拉常数相关的几个重要公式的总结，并以表格形式展示其定义、表达式及用途。
一、欧拉常数的定义
欧拉常数 γ 是调和级数与自然对数之间的差值的极限：
$$
\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right)
$$
这个常数大约等于 0.5772156649...
二、相关公式汇总
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 欧拉常数定义式 | $ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right) $ | 调和级数与自然对数之差的极限 |
| 积分表示式 | $ \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x} \right) dx $ | 通过积分形式表达欧拉常数 |
| 级数表示式 | $ \gamma = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right) $ | 无穷级数形式，收敛于 γ |
| 伽玛函数导数 | $ \gamma = -\Gamma'(1) $ | 伽玛函数在 1 处的导数值 |
| 与黎曼ζ函数的关系 | $ \gamma = \lim_{s \to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right) $ | 黎曼ζ函数在 s=1 附近的行为 |
| 与斯特林公式的关系 | $ \ln(n!) = n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln(2\pi n) + \gamma + o(1) $ | 斯特林公式的修正项 |
三、总结
欧拉常数 γ 虽然不是一个“公式”，但它在数学中扮演着非常重要的角色。它的多种表示方式反映了数学家们从不同角度对它的研究。无论是通过调和级数、积分、级数还是特殊函数，γ 都展现出其独特的数学魅力。
尽管目前还没有发现 γ 是否为有理数的问题仍未解决，但它的广泛应用使其成为数学中不可或缺的一部分。
如需进一步了解 γ 在具体应用中的表现（如在概率论、物理或工程中的作用），可继续深入探讨。
