【梅森素数列表】梅森素数是指形如 $2^p - 1$ 的素数，其中指数 $p$ 本身也必须是素数。这类素数以17世纪数学家马林·梅森（Marin Mersenne）的名字命名，尽管他并未完全正确地列出所有可能的此类素数。梅森素数在数论、密码学和计算机科学中具有重要价值，尤其在寻找大素数方面有广泛应用。
目前已知的梅森素数数量有限，随着计算能力的提升，新的梅森素数不断被发现。以下是对目前已知梅森素数的总结与列表。
梅森素数列表（截至2024年）
| 序号 | 指数 $p$ | 梅森素数 $2^p - 1$ | 位数 | 发现时间 | 发现者 |
| 1 | 2 | 3 | 1 | 公元前5世纪 | 古希腊 |
| 2 | 3 | 7 | 1 | 公元前5世纪 | 古希腊 |
| 3 | 5 | 31 | 2 | 公元前5世纪 | 古希腊 |
| 4 | 7 | 127 | 3 | 公元前5世纪 | 古希腊 |
| 5 | 13 | 8191 | 4 | 1456年 | 阿拉伯学者 |
| 6 | 17 | 131071 | 6 | 1588年 | 瓦伦蒂诺·布兰卡 |
| 7 | 19 | 524287 | 6 | 1588年 | 瓦伦蒂诺·布兰卡 |
| 8 | 31 | 2147483647 | 10 | 1772年 | 欧拉 |
| 9 | 61 | 2305843009213693951 | 19 | 1883年 | 皮特·塔克曼 |
| 10 | 89 | 618970019642690137449562111 | 27 | 1911年 | 莱斯利·霍勒 |
| 11 | 107 | 162259276821301526847884783 | 33 | 1914年 | 莱斯利·霍勒 |
| 12 | 127 | 170141183460469231731687303711 | 39 | 1876年 | 法国数学家 |
| 13 | 521 | 2^521 - 1 | 157 | 1952年 | 莱默等人 |
| 14 | 607 | 2^607 - 1 | 183 | 1952年 | 莱默等人 |
| 15 | 1279 | 2^1279 - 1 | 386 | 1952年 | 莱默等人 |
| 16 | 2203 | 2^2203 - 1 | 664 | 1952年 | 莱默等人 |
| 17 | 2281 | 2^2281 - 1 | 687 | 1952年 | 莱默等人 |
| 18 | 3217 | 2^3217 - 1 | 969 | 1957年 | 哈尔伯特 |
| 19 | 4253 | 2^4253 - 1 | 1281 | 1961年 | 理查德·斯科特 |
| 20 | 4423 | 2^4423 - 1 | 1332 | 1961年 | 理查德·斯科特 |
| 21 | 9689 | 2^9689 - 1 | 2917 | 1963年 | 霍纳德 |
| 22 | 9941 | 2^9941 - 1 | 2993 | 1963年 | 霍纳德 |
| 23 | 11213 | 2^11213 - 1 | 3376 | 1963年 | 霍纳德 |
| 24 | 19937 | 2^19937 - 1 | 6001 | 1971年 | 鲁宾斯 |
| 25 | 21701 | 2^21701 - 1 | 6533 | 1978年 | 罗伯特·尼尔森 |
| 26 | 23209 | 2^23209 - 1 | 6987 | 1979年 | 罗伯特·尼尔森 |
| 27 | 44497 | 2^44497 - 1 | 13395 | 1979年 | 罗伯特·尼尔森 |
| 28 | 86243 | 2^86243 - 1 | 25962 | 1983年 | 霍纳德 |
| 29 | 110503 | 2^110503 - 1 | 33265 | 1988年 | 罗杰·布朗 |
| 30 | 132049 | 2^132049 - 1 | 39751 | 1983年 | 罗杰·布朗 |
| 31 | 216091 | 2^216091 - 1 | 65050 | 1985年 | 罗杰·布朗 |
| 32 | 756839 | 2^756839 - 1 | 227832 | 1996年 | 罗伯特·纳尔逊 |
| 33 | 859433 | 2^859433 - 1 | 258716 | 1996年 | 罗伯特·纳尔逊 |
| 34 | 1257787 | 2^1257787 - 1 | 378632 | 1996年 | 罗伯特·纳尔逊 |
| 35 | 1398269 | 2^1398269 - 1 | 420921 | 1996年 | 罗伯特·纳尔逊 |
| 36 | 2976221 | 2^2976221 - 1 | 895433 | 1997年 | 乔治·沃特金斯 |
| 37 | 3021377 | 2^3021377 - 1 | 909526 | 1998年 | 罗伯特·柯克 |
| 38 | 6972593 | 2^6972593 - 1 | 2098960 | 1999年 | 安东尼·迪安 |
| 39 | 13466917 | 2^13466917 - 1 | 4053946 | 2001年 | 迈克尔·卡西尼 |
| 40 | 20996011 | 2^20996011 - 1 | 6320430 | 2003年 | 乔治·沃特金斯 |
| 41 | 24036583 | 2^24036583 - 1 | 7235733 | 2004年 | 约翰·弗里德里希 |
| 42 | 25964951 | 2^25964951 - 1 | 7816230 | 2005年 | 约翰·弗里德里希 |
| 43 | 30402457 | 2^30402457 - 1 | 9152052 | 2005年 | 保罗·盖茨 |
| 44 | 32582657 | 2^32582657 - 1 | 9808358 | 2006年 | 保罗·盖茨 |
| 45 | 37156667 | 2^37156667 - 1 | 11185272 | 2008年 | 卡洛斯·库恩 |
| 46 | 42643801 | 2^42643801 - 1 | 12837064 | 2009年 | 约翰·帕克 |
| 47 | 43112609 | 2^43112609 - 1 | 12978189 | 2009年 | 约翰·帕克 |
| 48 | 57885161 | 2^57885161 - 1 | 17425170 | 2013年 | 约翰·帕克 |
| 49 | 74207281 | 2^74207281 - 1 | 22334567 | 2016年 | 约翰·帕克 |
| 50 | 82589933 | 2^82589933 - 1 | 24862048 | 2018年 | 约翰·帕克 |
小结
梅森素数的研究不仅推动了数学理论的发展，也促进了计算机技术的进步。随着分布式计算项目的兴起，越来越多的梅森素数被发现，未来可能会有更多未知的梅森素数被揭示。这些大素数在现代密码学中也有潜在的应用价值，尤其是在公钥加密系统中。
