【面面垂直的判定】在立体几何中，判断两个平面是否垂直是常见的问题之一。面面垂直的判定不仅在数学考试中频繁出现，也在实际工程、建筑和设计中有着广泛的应用。掌握面面垂直的判定方法，有助于提升空间想象能力和逻辑推理能力。
一、面面垂直的定义
两个平面如果相交，并且它们的二面角为直角（即90°），则称这两个平面互相垂直。记作：α ⊥ β。
二、面面垂直的判定方法总结
以下是几种常见的面面垂直的判定方法及其适用条件：
| 判定方法 | 具体内容 | 适用条件 |
| 1. 利用直线与平面垂直 | 若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。 | 直线必须在其中一个平面内，且与另一平面垂直 |
| 2. 利用法向量 | 若两个平面的法向量垂直，则这两个平面也垂直。 | 两平面有明确的法向量表达式 |
| 3. 利用三垂线定理 | 在一个平面内，若一条直线垂直于另一平面内的某条直线，且这条直线又垂直于两平面的交线，则两平面垂直。 | 需要构造交线和垂线 |
| 4. 利用空间坐标系 | 建立坐标系后，通过计算法向量的点积为0来判断两平面是否垂直。 | 适用于解析几何中的具体坐标问题 |
三、典型例题解析
例题1
已知平面α的一个法向量为n₁ = (1, 2, 3)，平面β的一个法向量为n₂ = (−2, 1, 0)。判断α与β是否垂直。
解：
计算n₁·n₂ = 1×(−2) + 2×1 + 3×0 = −2 + 2 + 0 = 0
因为点积为0，所以两法向量垂直 → 平面α与β垂直。
四、注意事项
- 判断面面垂直时，应优先考虑使用法向量的方法，因其简洁且适用于各种情况。
- 如果题目中没有给出法向量或坐标信息，可尝试通过构造辅助线或使用几何定理进行判断。
- 实际应用中，要注意空间图形的直观理解，避免因想象偏差导致错误判断。
五、总结
面面垂直的判定是立体几何的重要内容，掌握其基本方法有助于提高几何分析能力。无论是通过法向量、直线垂直，还是利用几何定理，都应结合题目的具体情况灵活运用。在学习过程中，建议多做练习题，加深对概念的理解和应用。
