在数学中，极限是微积分的核心概念之一，尤其在高等数学和工程计算中具有广泛的应用。对于学习数学的学生来说，掌握一些常用的极限公式是非常有必要的。这些公式不仅有助于简化复杂的计算过程，还能提高解题效率。本文将介绍一些在求极限过程中经常用到的“lim”相关常用公式，并简要说明其适用场景与使用方法。
一、基本极限公式
1. 常数极限
$$
\lim_{x \to a} C = C
$$
其中 $ C $ 为常数，表示无论 $ x $ 如何变化，极限值始终为常数值。
2. 多项式函数的极限
$$
\lim_{x \to a} (x^n) = a^n
$$
当 $ n $ 为整数时，该公式成立。适用于简单多项式的极限计算。
3. 分式极限（直接代入法）
若函数 $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $ 在 $ x = a $ 处连续，则：
$$
\lim_{x \to a} f(x) = \frac{P(a)}{Q(a)}
$$
此方法适用于分子分母在 $ x = a $ 处不为零的情况。
二、重要极限公式
1. 第一重要极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
这是三角函数中非常重要的一个极限，常用于涉及三角函数的极限问题中。
2. 第二重要极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
$$
该公式在指数函数相关的极限中应用广泛，特别是在导数定义中也经常出现。
3. 自然对数极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
$$
该公式在处理对数函数的极限问题时非常有用。
4. 无穷小量的比较
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} $
三、极限运算法则
1. 四则运算法则
若 $ \lim_{x \to a} f(x) = L $，$ \lim_{x \to a} g(x) = M $，则：
- $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M $
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $
- $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $（当 $ M \neq 0 $）
2. 复合函数的极限
若 $ \lim_{x \to a} g(x) = b $，且 $ \lim_{y \to b} f(y) = L $，则：
$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = L
$$
四、洛必达法则（L’Hospital Rule）
当遇到 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 型不定式时，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
前提是 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x = a $ 附近可导，且 $ g'(x) \neq 0 $。
五、泰勒展开与等价无穷小替换
在处理复杂函数的极限时，常常会用到泰勒展开或等价无穷小进行近似处理：
- $ \sin x \sim x $（当 $ x \to 0 $）
- $ \tan x \sim x $
- $ e^x \sim 1 + x $
- $ \ln(1 + x) \sim x $
这些等价关系可以帮助我们快速估算极限值，尤其是在无法直接代入的情况下。
结语
掌握这些“求极限 lim 的常用公式”是学习高等数学的重要基础。通过理解这些公式的适用条件和应用场景，可以更高效地解决各种极限问题。同时，灵活运用洛必达法则、泰勒展开等方法，也能帮助我们在面对复杂极限时更加得心应手。希望本文能够为你的学习提供一定的帮助和启发。
