例如，在面对形如 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}\) 的极限时，直接代入可能无法得到明确结果。此时，利用泰勒公式展开 \(\sin x\) 的表达式会是一个有效策略。我们知道，\(\sin x\) 的泰勒展开为：

\[

\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots

\]

将其代入原极限表达式中，可以得到：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + \cdots) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + \cdots}{x^3}

\]

进一步简化后，可得：

\[

-\frac{1}{6}

\]

通过这种方式，我们不仅解决了极限问题，还避免了使用洛必达法则带来的复杂导数计算。这种方法体现了泰勒公式在处理极限问题上的高效性和实用性。

在实际应用中，选择合适的阶数进行泰勒展开是关键。通常情况下，展开到足以消除分母中的 \(x\) 次幂即可。此外，对于更高阶的极限问题，合理地结合其他数学工具（如等价无穷小替换）可以进一步提高解题效率。

总之，掌握并灵活运用泰勒公式是高等数学学习中不可或缺的一部分，它不仅能帮助我们更好地理解函数的本质，还能显著提升解决问题的能力。