【正态分布函数公式是什么?】正态分布是统计学中最常见、最重要的概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学、工程和金融等领域。它描述了大量随机变量的分布情况，具有对称性、集中性和可预测性的特点。
一、正态分布的基本概念
正态分布（Normal Distribution）又称高斯分布（Gaussian Distribution），是一种连续型概率分布。它的图形呈钟形曲线，称为“钟形曲线”或“正态曲线”。
正态分布由两个参数决定：均值（μ） 和 标准差（σ）。均值决定了分布的中心位置，标准差决定了分布的宽度。
二、正态分布函数的数学表达式
正态分布的概率密度函数（PDF）公式如下：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ x $ 是随机变量的取值；
- $ \mu $ 是均值（平均数）；
- $ \sigma $ 是标准差；
- $ \pi \approx 3.1416 $；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）。
三、正态分布函数公式总结
| 名称 | 公式 | 说明 |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 描述某一特定值出现的概率密度 |
| 累积分布函数（CDF） | $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} dt $ | 表示随机变量小于等于 x 的概率 |
| 标准正态分布（Z 分布） | $ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} $ | 均值为 0，标准差为 1 的正态分布 |
四、正态分布的特点
1. 对称性：图像关于均值 μ 对称。
2. 集中性：大部分数据集中在均值附近。
3. 68-95-99.7 规则（经验法则）：
- 约 68% 的数据落在 $ \mu \pm \sigma $ 范围内；
- 约 95% 的数据落在 $ \mu \pm 2\sigma $ 范围内；
- 约 99.7% 的数据落在 $ \mu \pm 3\sigma $ 范围内。
五、实际应用
正态分布在现实生活中应用广泛，例如：
- 身高、体重等人体特征的分布；
- 测量误差的分析；
- 股票收益率的建模；
- 学生成绩的分布分析。
通过理解正态分布函数的公式及其特性，可以更好地进行数据分析与统计推断。在实际应用中，常使用标准正态分布表或统计软件（如 Excel、Python 的 SciPy 库）来计算概率和进行假设检验。
